- Construir expresiones de perímetro, área, costo e ingreso.
- Distinguir identidad y ecuación dentro de un dominio.
- Usar argumentos algebraicos y contraejemplos con alcance claro.
Antes de empezar: Traducción, distributiva y operaciones con polinomios.
Del dibujo al perímetro
El ancho de un rectángulo es x cm y el largo es tres centímetros más que el doble del ancho: cm. Como x representa longitud, se exige x positivo.
El perímetro suma dos anchos y dos largos: . La expresión final se interpreta en centímetros cuando x es el valor numérico del ancho en cm.
El área es otra relación
Para el mismo rectángulo, . El valor se expresa en cm². En x = 2, largo 7 cm, el perímetro es 18 cm y el área 14 cm².
No confundas sumar lados con multiplicar dimensiones. Las unidades y una sustitución sencilla permiten detectar si se construyó el modelo equivocado.
Costo, ingreso y diferencia
Un modelo de producción supone costo fijo de 100 pesos y costo variable de 4 pesos por unidad. Si n es el número entero no negativo de unidades, . Si se venden todas a 9 pesos, .
La diferencia entre ingreso y ese costo modelado es . Se trata de un ejemplo matemático con supuestos explícitos; no incluye otros gastos, impuestos ni unidades sin vender. Una expresión útil declara qué incluye.
Identidad y ecuación
es una identidad: se cumple para todo x real. se cumple solo para x = 4, por lo que es una ecuación con una solución concreta.
Una identidad es una igualdad válida para todos los valores de su dominio. Una ecuación puede tener una, varias, ninguna o todas las soluciones del dominio. El signo igual por sí solo no determina cuál situación ocurre.
Un ejemplo no demuestra todos los casos
se cumple en x = 0 y x = 1, pero no en x = 2. Dos coincidencias no prueban una identidad. Un solo contraejemplo sí basta para refutar que una igualdad se cumpla siempre.
Las transformaciones por propiedades justifican equivalencias para todo el dominio al que aplican. La comprobación numérica y la demostración cumplen funciones distintas.
Demostrar una propiedad de números impares
Un entero impar se escribe , con n entero. El siguiente impar es . Su suma es . Como n + 1 es entero, la suma es múltiplo de cuatro.
No se ha probado solo un ejemplo: n representa cualquier entero. Como ampliación, la suma de los primeros n impares positivos vale n² para n entero positivo; se puede visualizar agregando al cuadrado anterior una capa de 2n − 1 celdas. Esta unidad desarrolla la prueba de dos impares consecutivos y deja la formalización de la suma general para una secuencia posterior.
Predice y explora
Elige los datos, anticipa la cantidad solicitada y después revela el modelo. Cambiar los datos inicia una nueva predicción.
Práctica con apoyo
En respuestas numéricas escribe un número o fracción exacta. En respuestas algebraicas puedes usar 2x, x^2, x², (x+1)(x+2) y x/2. Letras admitidas: x, y, a, b, n. No escribas el signo igual. Cuando se pida desarrollar y reducir, termina las operaciones; una forma equivalente aún agrupada se señalará como pendiente.
Comprueba qué resuelves por tu cuenta
Intenta las tres tareas sin consultar ayuda. Una respuesta numérica correcta debe acompañarse de una explicación coherente.
Explícalo con tus palabras
Se guarda mientras escribes. Revísalo con tu profesor o contrástalo con los ejemplos.
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Consultar una clase sobre este temaAmplía la práctica: ejercicios 10–15
La lección reúne 15 ejercicios: 6 de práctica, 3 de salida y estos 6 retos de aplicación y justificación. El progreso de estos retos se registra por separado del motor de la lección.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un servicio cobra 20 pesos fijos más 2 pesos por unidad. Escribe C(n) y calcula C(7).
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: C(n)=20+2n; C(7)=34
- El cargo fijo no depende de n.
- La parte variable es 2n.
- Sustituye n=7; en este modelo n es entero no negativo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un servicio cobra 30 pesos fijos más 3 pesos por unidad. Escribe C(n) y calcula C(7).
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: C(n)=30+3n; C(7)=51
- El cargo fijo no depende de n.
- La parte variable es 3n.
- Sustituye n=7; en este modelo n es entero no negativo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un servicio cobra 40 pesos fijos más 4 pesos por unidad. Escribe C(n) y calcula C(7).
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: C(n)=40+4n; C(7)=68
- El cargo fijo no depende de n.
- La parte variable es 4n.
- Sustituye n=7; en este modelo n es entero no negativo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
La relación contiene (1,2), (2,3) y (1,4). ¿Define una función de la primera coordenada a la segunda?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- La entrada 1 tiene dos salidas distintas, 2 y 4.
- Cada entrada de una función debe tener una única salida.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
La relación contiene (1,3), (2,4) y (1,5). ¿Define una función de la primera coordenada a la segunda?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- La entrada 1 tiene dos salidas distintas, 3 y 5.
- Cada entrada de una función debe tener una única salida.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
La relación contiene (1,4), (2,5) y (1,6). ¿Define una función de la primera coordenada a la segunda?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- La entrada 1 tiene dos salidas distintas, 4 y 6.
- Cada entrada de una función debe tener una única salida.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.