Producto escalar: medir la parte que apunta en una dirección

Comprende la idea

Antes de empezar: Vectores, componentes, longitud y coseno.

El producto escalar de dos vectores produce un número. En un sistema cartesiano ortonormal, multiplicamos componentes correspondientes y sumamos: $u \cdot v$ = uₓvₓ + uᵧvᵧ en dos dimensiones. En tres dimensiones agregamos u_zv_z.

Interpretación geométrica

También $u \cdot v$ = |u||v| cos θ, donde θ es el ángulo entre vectores no nulos. El resultado es positivo para un ángulo agudo, cero para uno recto y negativo para uno obtuso. Así podemos revisar la orientación relativa sin dibujar perfectamente los vectores.

Proyectar sobre una dirección

Si e es un vector unitario, $u \cdot e$ es la componente escalar con signo de u en esa dirección. El vector proyectado es ( $u \cdot e$ )e. Distingue ambos resultados: uno es número y el otro conserva dirección.

Para proyectar sobre un vector v no nulo que no sea unitario, la proyección vectorial es [( $u \cdot v$ )/( $v \cdot v$ )]v. El denominador ajusta la longitud de v para que no cambie la proyección solo por escalar la referencia.

Perpendicularidad

Dos vectores no nulos son perpendiculares si su producto escalar es cero. El vector cero también da producto cero con todos, pero no tiene una dirección que permita definir un ángulo propio.

¿Qué significa

u \cdot u

Es la suma de los cuadrados de las componentes: |u|². Es no negativa y solo vale cero cuando u es el vector cero.

u \cdot v = u_{x} v_{x} + u_{y} v_{y} = | u | | v | \cos θ

Vamos con un ejemplo

Resuelto paso a paso

Para $u = (3, 4)$ y $v = (4, - 3)$ , $u \cdot v = 12 - 12 = 0$ : son perpendiculares. Ambos tienen longitud 5. Para proyectar u sobre el eje horizontal, usa $e = (1, 0)$ : $u \cdot e = 3$ y la proyección vectorial es (3,0).

Conecta y aplica

El trabajo de una fuerza constante puede escribirse $W = F$ ·Δr. Si F = (3,4) N y Δr = (2,0) m, el trabajo es 6 J: la componente vertical no contribuye a ese desplazamiento horizontal.

Un detalle que importa: No confundas $u \cdot v$ con el producto de sus longitudes: ese producto solo coincide con el escalar cuando ambos vectores no nulos apuntan en el mismo sentido.

Ponlo a prueba

¿Cuánto vale (2,−1)·(3,4)?

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