Límites: observar a qué valor nos acercamos

Comprende la idea

Antes de empezar: Funciones, sustitución algebraica y diferencia de cuadrados.

El límite describe a qué valor se acerca f(x) cuando x se aproxima a un número a. La pregunta se refiere a valores cercanos a a, con x distinto de a; no exige que f(a) esté definida.

Para que exista un límite bilateral finito, al acercarnos por la izquierda y por la derecha debemos aproximarnos al mismo valor. Una tabla orienta la intuición, pero unos cuantos puntos no prueban por sí solos el comportamiento de todos los valores cercanos.

Sustituir: útil con condiciones

En polinomios podemos calcular el límite sustituyendo directamente porque son continuos. En un cociente de polinomios, esa sustitución sirve si el denominador no se anula en el punto. Si obtenemos $\frac{0}{0}$, todavía no sabemos el límite: esa expresión no es un número.

Para f(x) = ($x^2-1$)/($x-1$), factorizar permite escribir f(x) = $x+1$ cuando x ≠ 1. Ambas expresiones coinciden alrededor de 1, aunque la primera no esté definida exactamente allí. Por eso el límite cuando x tiende a 1 es 2.

Vamos con un ejemplo

Conecta y aplica

Los límites permiten construir la idea de velocidad instantánea y de pendiente tangente a partir de cambios en intervalos cada vez menores. Primero hay que distinguir «en el punto» de «alrededor del punto».

Un detalle que importa: Cancelar un factor no elimina las restricciones de la expresión original. Tampoco se cancelan términos de una suma como si fueran factores.