La derivada: una tasa de cambio instantánea

Comprende la idea

Antes de empezar: Pendiente de una recta, límites y desarrollo de ($a+b$)².

Entre dos entradas x y $x+h$, la tasa media de cambio es [f($x+h$) − f(x)]/h, con h distinto de cero. Geométricamente es la pendiente de una recta secante que pasa por dos puntos de la gráfica.

Si esta tasa se aproxima a un mismo valor finito cuando h tiende a cero, ese límite es la derivada f′(x). La recta secante conduce entonces a la pendiente tangente. No se calcula dividiendo directamente entre cero: se estudia un límite.

Una función puede cambiar su ritmo

Para $f\left(x\right)=x^2$, el incremento es ($x+h$)² − $x^2$ = 2xh + $h^2$. Al dividir entre h obtenemos $2x+h$; su límite es 2x. La tasa instantánea depende de la posición x: no es una constante.

Las unidades de la derivada son unidades de salida divididas entre unidades de entrada. Si s se mide en metros y t en segundos, ds/dt se mide en $\frac{m}{s}$. Si la salida es costo y la entrada son unidades producidas, la derivada tiene unidades monetarias por unidad de producto.

Vamos con un ejemplo

Conecta y aplica

En un modelo de posición s(t) = (1 $\frac{m}{s^2}$)$t^2$, la velocidad instantánea es v(t) = (2 $\frac{m}{s^2}$)t. A los 3 s vale 6 $\frac{m}{s}$. Es un modelo unidimensional; el signo de v indica la dirección según el eje elegido.

Un detalle que importa: $f^{\prime }\left(3\right)=6$ no significa que f(3) sea 6. En el ejemplo f(3) = 9: altura de la gráfica y pendiente son cantidades diferentes.