Integral definida: sumar cambios pequeños

Comprende la idea

Antes de empezar: Funciones, áreas geométricas y derivadas básicas.

Una integral definida acumula las contribuciones de una función en un intervalo. Podemos imaginar muchos rectángulos de ancho pequeño: su altura depende de f(x), y la suma de altura por ancho se aproxima a la integral cuando la partición se refina, para las funciones regulares de estos ejemplos.

El signo forma parte del resultado

Si f(x) es positiva, las contribuciones quedan por encima del eje y suman positivamente. Si es negativa, contribuyen con signo negativo. La integral representa área con signo; para obtener el área geométrica total entre la curva y el eje, debes integrar el valor absoluto o separar los intervalos según el signo.

Usar una antiderivada

Si f es continua en [a, b] y F′ = f, entonces la integral de a a b es F(b) − F(a). Por ejemplo, una antiderivada de 2x es $x^2$. Las constantes se cancelan al restar los valores de F.

Las unidades se multiplican: integrar velocidad en $\frac{m}{s}$ respecto al tiempo en s produce metros. La acumulación de velocidad da desplazamiento; para obtener distancia recorrida necesitas acumular la rapidez, es decir, el valor absoluto de la velocidad.

Vamos con un ejemplo

Conecta y aplica

Si la velocidad es constante en 4 $\frac{m}{s}$ durante 3 s, integrar equivale a multiplicar: el desplazamiento es 12 m. Si el móvil cambia de dirección, separa los tramos antes de confundir desplazamiento con distancia.

Un detalle que importa: En una integral definida se evalúa el extremo superior menos el inferior. La constante +C corresponde a una familia de antiderivadas en una integral indefinida, no se agrega al resultado numérico definido.