Integrar potencias: recuperar una familia de funciones

Comprende la idea

Antes de empezar: Derivadas de potencias e integral definida como acumulación.

Una antiderivada de f es una función F cuya derivada es f. Como las constantes derivan a cero, $F+C$ también es antiderivada para cualquier constante C. Por eso una integral indefinida representa una familia de funciones, no un único número.

Invertir la regla de potencias

Para una potencia $x^n$ con n entero no negativo, aumentamos el exponente en uno y dividimos entre el nuevo exponente: ∫$x^n$ dx = $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ + C. La regla se extiende a otras potencias en intervalos adecuados, pero no a n = −1, porque dividiríamos entre cero.

La integral de $\frac{1}{x}$ es ln|x| + C en intervalos que no cruzan cero. No hace falta utilizar esta excepción para integrar polinomios, pero reconocerla evita aplicar la fórmula sin mirar sus condiciones.

Sumas y factores constantes

Integra cada término y conserva sus coeficientes. Para $6x^2-4x+3$, una antiderivada es $2x^3-2x^2+3x$. Derivarla recupera la expresión inicial y permite revisar todos los coeficientes.

Integrales con extremos

Si f es continua entre a y b, la integral definida se calcula como F(b) − F(a). La constante C se cancela. El resultado es una acumulación con signo y unidades de f multiplicadas por unidades de x.

Vamos con un ejemplo

Conecta y aplica

Si conoces una velocidad v(t), una antiderivada proporciona posición más una constante. La posición inicial determina esa constante. Sin ese dato, muchas trayectorias desplazadas comparten la misma velocidad.

Un detalle que importa: Integrar un producto no equivale en general a multiplicar las integrales de sus factores. La linealidad se aplica a sumas y factores constantes.