Exponenciales y logaritmos: deshacer una potencia

Comprende la idea

Antes de empezar: Potencias, ecuaciones y dominio de funciones.

En una función exponencial la variable aparece en el exponente: 2ˣ. No es lo mismo que $x^2$, donde la base varía. Para base b positiva y distinta de 1, el logaritmo log_b(a) responde: ¿a qué exponente debo elevar b para obtener a?

Escribimos log_b(a) = c exactamente cuando $b^c=a$. Así ${\log }_2$(8) = 3 y ${\log }_{10}$(0.01) = −2. En los números reales, el argumento a debe ser positivo. Un logaritmo puede ser negativo aunque su argumento no pueda serlo.

Propiedades con condiciones

Para argumentos positivos u y v, log_b(uv) = log_b(u) + log_b(v) y log_b($\frac{u}{v}$) = log_b(u) − log_b(v). También log_b(uʳ) = r log_b(u) para u positivo. Estas relaciones provienen de las reglas de exponentes.

No hay una regla semejante que convierta log_b($u+v$) en la suma de logaritmos. Por ejemplo ${\log }_{10}$($10+90$) = 2, mientras que ${\log }_{10}$(10) + ${\log }_{10}$(90) es distinto.

Elegir una base

ln significa logaritmo de base e, donde e ≈ 2.71828. El cambio de base permite calcular log_b(a) = ln(a)/ln(b). Conserva las condiciones sobre b y a al usar la calculadora.

Vamos con un ejemplo

Conecta y aplica

Un proceso ideal que duplica su cantidad por etapa se modela como N = N₀2ⁿ. Para alcanzar ocho veces el inicio, $2^n=8$ da $n=3$. El modelo requiere que el factor se mantenga constante en cada etapa.

Un detalle que importa: En ecuaciones como ln($x-1$) = 0, empieza con $x>1$. Después $x-1=1$ y $x=2$; confirma que cumple el dominio.