Ecuaciones cuadráticas: encontrar las raíces

Comprende la idea

Antes de empezar: Propiedad distributiva, ecuaciones lineales y raíces cuadradas.

Una ecuación cuadrática tiene la forma $a x^{2}$ + bx + $c = 0$ , con a distinto de cero. Su mayor exponente de la incógnita es dos. Antes de elegir un procedimiento, lleva todos los términos al mismo miembro.

Factorizar para resolver

Si una expresión se escribe como producto y ese producto vale cero, al menos uno de sus factores debe ser cero. Así $(x - 2) (x - 3) = 0$ permite resolver $x - 2 = 0$ o $x - 3 = 0$ . La propiedad no funciona de la misma forma si el producto vale 7.

Para $x^{2} - 5 x + 6$ , buscamos dos números cuya suma sea −5 y cuyo producto sea 6: −2 $y - 3$ . Multiplicar los factores confirma que ( $x - 2$ )( $x - 3$ ) reproduce el polinomio original.

Cuando no resulta fácil factorizar

La fórmula general usa $Δ = b^{2}$ − 4ac. Si Δ es positivo hay dos raíces reales diferentes; si es cero, una raíz real doble; si es negativo, no hay raíces reales, aunque sí soluciones complejas. Esta clasificación supone coeficientes reales.

¿Por qué se comprueba el contexto?

En $x^{2} = 9$ aparecen $x = 3$ y x = −3. Si x representa la longitud de un lado, solo 3 es admisible. La ecuación y el problema no siempre tienen el mismo conjunto de respuestas aceptables.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Vamos con un ejemplo

Resuelto paso a paso

Para $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , factorizamos $(x - 2) (x - 3) = 0$ . Obtenemos $x = 2$ o $x = 3$ . Comprobación: $2^{2} - 5 (2) + 6 = 0$ y $3^{2} - 5 (3) + 6 = 0$ . Ambas son raíces porque no hay otra restricción.

Conecta y aplica

Un rectángulo tiene lados x y $x + 1$ metros y área de 12 $m^{2}$ . Entonces x( $x + 1$ ) = 12 y $x^{2} + x - 12 = 0$ . Las raíces son 3 $y - 4$ . La longitud positiva es $x = 3$ m y el otro lado mide 4 m.

Un detalle que importa: No dividas entre x sin revisar $x = 0$ : en $x^{2} - 4 x = 0$ , factorizar x( $x - 4$ ) conserva las raíces 0 y 4. Dividir entre x perdería la primera.

Ponlo a prueba

¿Cuáles son las soluciones reales de $x^{2} - 9 = 0$ ?

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