Bisección: aproximar una raíz conservando un intervalo

Comprende la idea

Antes de empezar: Funciones, continuidad, condicionales, ciclos y excepciones en Python.

Si f es continua en [a,b] y sus valores extremos tienen signos opuestos, existe al menos una raíz entre ellos. Bisección divide el intervalo a la mitad y conserva una mitad que mantiene el cambio de signo. No necesita que la función sea creciente, pero la continuidad es esencial.

Una implementación acotada

def bisecar(f, a, b, tol=1e-6, max_iter=100):
    if not a < b or tol <= 0 or max_iter < 1:
        raise ValueError("Intervalo o límites inválidos")
    fa, fb = f(a), f(b)
    if fa == 0:
        return a
    if fb == 0:
        return b
    if (fa > 0) == (fb > 0):
        raise ValueError("Falta cambio de signo")
    for _ in range(max_iter):
        m = a + (b - a) / 2
        fm = f(m)
        if fm == 0 or (b - a) / 2 <= tol:
            return m
        if (fa > 0) != (fm > 0):
            b = m
        else:
            a, fa = m, fm
    raise RuntimeError("No se alcanzó la tolerancia")

Suponemos entradas y evaluaciones finitas, una función continua, una escala numérica moderada, tolerancia positiva y max_iter entero positivo. El código no certifica esos supuestos ni es una biblioteca numérica general. El límite de iteraciones evita un ciclo indefinido.

Qué significa la tolerancia

Si queda una raíz dentro del intervalo, la distancia entre el punto medio y esa raíz es como máximo la mitad del ancho. Esta implementación usa esa cota sobre x. Un valor pequeño de |f(m)| es otra medida y no siempre equivale a pequeño error en x.

Vamos con un ejemplo

Conecta y aplica

Prueba el algoritmo con una raíz exacta en un extremo, otra interior, un intervalo sin cambio de signo y un límite de iteraciones insuficiente. Esas pruebas revisan resultados y rechazos del contrato.

Un detalle que importa: Un cambio de signo en $\frac{1}{x}$ entre −1 y 1 no garantiza una raíz: falta continuidad y la función ni siquiera está definida en cero. Revisar solo los extremos no valida el modelo.