Antiderivadas, límites y sustitución

Comprueba antiderivadas derivando. Conserva una sola variable durante cada evaluación de límites.

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Soluciones y procedimientos

Compara después de intentar los ejercicios.

Una familia de antiderivadas es $3 x^{3} - 4 x + C$ . Derivar produce $9 x^{2} - 4$ .
$F (x) = x^{2}$ . La integral vale $3^{2} - 1^{2} = 8$ . No se añade una constante arbitraria después de evaluar.
$F (x) = \frac{x^{3}}{3} + x$ . Evaluando: $\frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$ . Es un resultado exacto; su aproximación es 4.666…
Con $u = x^{2} + 5$ , $d u = 2 x d x$ . Integramos $u^{2}$ y regresamos: $\frac{(x^{2} + 5)^{3}}{3} + C$ . Su derivada recupera el integrando.
$u = 3 x + 1$ y $d u = 3 d x$ ; los límites son 1 y 4. La integral es $[\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{4}$ = $\frac{64 - 1}{3} = 21$ .
Aquí n = −1 y $n + 1 = 0$ , lo que produciría división entre cero. En intervalos que no cruzan cero, una antiderivada es ln|x|. La familia incluye + C.