Matrices: organizar datos y componer transformaciones

Comprende la idea

Antes de empezar: Operaciones algebraicas y sistemas de ecuaciones.

Una matriz organiza números en filas y columnas. Una matriz de tamaño $m \times n$ tiene m filas y n columnas. En $A_{i j}$ , el primer índice identifica la fila y el segundo la columna; aquí los numeramos desde 1.

Sumar y escalar

Solo sumamos matrices del mismo tamaño, entrada a entrada. Multiplicar una matriz por un número multiplica todas sus entradas. Estas operaciones pueden representar la suma de inventarios con la misma estructura o el cambio de unidad de todos los datos.

Multiplicar matrices

Si A es $m \times n$ y B es $n \times p$ , el producto AB existe y mide $m \times p$ . Cada entrada se obtiene multiplicando una fila de A por una columna de B y sumando los productos correspondientes.

Para A = [[1,2],[0,1]] y B = [[2,0],[3,1]], la entrada superior izquierda de AB es $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8$ . El producto completo es [[8,2],[3,1]]. No es una multiplicación posición por posición.

El orden importa

Con esas mismas matrices, BA = [[2,4],[3,7]], distinto de AB. Al interpretar matrices como transformaciones sobre vectores columna, AB aplica primero B y después A. Cambiar el orden puede cambiar el resultado.

¿Qué hace la matriz identidad?

La identidad tiene unos en la diagonal y ceros fuera. Multiplicar por una identidad del tamaño adecuado conserva la matriz: AI = A e IA = A.

(A B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j}

Vamos con un ejemplo

Resuelto paso a paso

Multiplica $[\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix}]$ por el vector columna [4,2]. La primera componente es $2 \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 10$ . La segunda es $- 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 2$ . El resultado es el vector columna [10,2]; sus dos entradas corresponden a las dos filas de la matriz.

Conecta y aplica

Un sistema $2 x + y = 5$ $y - x + 3 y = 1$ se escribe Av = b, con A = $[\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix}]$ , v = [x,y] y b = [5,1], ambos vectores columna. La notación concentra los coeficientes sin cambiar las ecuaciones.

Un detalle que importa: Antes de calcular un producto, verifica dimensiones. Que AB exista no implica que BA exista, y cuando ambos existen no tienen por qué coincidir.

Ponlo a prueba

Si A es $2 \times 3$ y B es $3 \times 4$ , ¿qué tamaño tiene AB?

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