Sustitución: reconocer una derivada dentro de una integral

Comprende la idea

Antes de empezar: Regla de la cadena, antiderivadas y evaluación de integrales definidas.

La sustitución deshace la regla de la cadena. Si aparece una función compuesta acompañada por la derivada de su parte interior, podemos cambiar de variable para simplificar la integral.

Elegir u y transformar todo

En ∫2x( $x^{2} + 1$ )³ dx elegimos $u = x^{2} + 1$ . Como $d u = 2 x d x$ , la integral se convierte en ∫ $u^{3}$ du. Su resultado es $\frac{u^{4}}{4} + C$ y, al volver a x, obtenemos ( $x^{2} + 1$ )⁴/4 + C.

La relación $d u = 2 x d x$ registra el factor que acompaña al cambio. No significa que puedas eliminar símbolos libremente: debes sustituir todas las partes de forma coherente y dejar una sola variable de integración.

Ajustar factores constantes

En ∫x( $x^{2} + 1$ )³ dx falta un factor 2, pero podemos escribir la integral como la mitad de ∫2x( $x^{2} + 1$ )³ dx. El resultado es ( $x^{2} + 1$ )⁴/8 + C. Solo compensamos por constantes de manera directa.

Límites nuevos

En una integral definida, transforma también los extremos: si x pasa de 0 a 1 y $u = x^{2} + 1$ , u pasa de 1 a 2. Evalúa con esos límites en la variable u, o regresa a x antes de usar los límites originales.

¿La sustitución siempre elimina la dificultad?

No. Una elección puede dejar la integral igual de complicada. Busca una parte interior cuya derivada esté presente, quizá multiplicada por una constante; no fuerces un cambio que deje variables mezcladas.

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C con F^{'} = f

Vamos con un ejemplo

Resuelto paso a paso

Calcula $\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x$ . Tomamos $u = x^{2} + 1$ y $d u = 2 x d x$ . Los extremos cambian de 0 y 1 a 1 y 2. Integramos $u^{3}$ : $[\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{2}$ = $\frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4}$ .

Conecta y aplica

Antes de aceptar una antiderivada obtenida por sustitución, derívala. Si falta el factor interior, la comprobación lo hará visible; es una forma concreta de revisar el cambio de variable.

Un detalle que importa: No evalúes una antiderivada escrita en u usando extremos que todavía representan x. Esa mezcla puede dar un número convincente y equivocado.

Ponlo a prueba

Con $u = x^{2} + 4$ , ¿qué límites corresponden a x de 0 a 2?

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