Cálculo Diferencial

1. Introducción al Cálculo

  • Conceptos básicos: Números reales, intervalos, desigualdades, valor absoluto.
  • Funciones: Dominio, rango, gráficas, tipos de funciones (polinomiales, racionales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas).
  • Operaciones con funciones: Suma, resta, multiplicación, división, composición.

2. Límites y Continuidad

  • Concepto de límite: Límites laterales, límites al infinito, propiedades de los límites.
  • Continuidad: Definición de continuidad, tipos de discontinuidades, teoremas de continuidad.
  • Asíntotas: Verticales, horizontales, oblicuas.

3. La Derivada

  • Definición de derivada: Razón de cambio instantánea, interpretación geométrica.
  • Reglas de derivación: Derivada de una suma, producto, cociente, función compuesta.
  • Derivadas de funciones elementales: Polinomiales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas.
  • Derivadas de orden superior: Derivada segunda, tercera, etc.

4. Aplicaciones de la Derivada

  • Máximos y mínimos: Valores extremos, puntos críticos, teorema de Fermat.
  • Concavidad y puntos de inflexión: Criterio de la segunda derivada.
  • Optimización: Problemas de máximos y mínimos en diversas aplicaciones.
  • Crecimiento y decrecimiento: Intervalos de monotonía.
  • Gráficas de funciones: Análisis completo de una función.

5. Derivadas de Funciones Implícitas y Paramétricas

  • Funciones implícitas: Derivación de funciones definidas implícitamente.
  • Funciones paramétricas: Derivadas de funciones dadas en forma paramétrica.

6. Diferenciales y Aproximaciones

  • Diferencial de una función: Interpretación geométrica, aproximaciones lineales.
  • Propagación de errores.

Cálculo Integral

1. Introducción a la Integral

  • Antiderivada: Concepto y propiedades.
  • Integral indefinida: Cálculo de antiderivadas.
  • Fórmulas fundamentales de integración: Integrales de funciones elementales.

2. La Integral Definida

  • Sumas de Riemann: Aproximación del área bajo una curva.
  • Definición de la integral definida: Como límite de sumas de Riemann.
  • Teorema fundamental del cálculo: Relación entre la integral definida y la antiderivada.

3. Técnicas de Integración

  • Sustitución: Cambio de variable.
  • Integración por partes: Fórmula de integración por partes.
  • Fracciones parciales: Descomposición en fracciones parciales.
  • Sustituciones trigonométricas: Uso de identidades trigonométricas.
  • Tablas de integrales: Consulta de integrales comunes.

4. Aplicaciones de la Integral

  • Áreas: Cálculo de áreas entre curvas.
  • Volúmenes: Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.
  • Longitud de arco: Cálculo de la longitud de una curva.
  • Áreas de superficies: Cálculo de áreas de superficies de revolución.
  • Trabajo: Cálculo del trabajo realizado por una fuerza variable.
  • Centroides y momentos de inercia: Aplicaciones en física.

5. Integrales Impropias

6. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

  • Ecuaciones diferenciales de primer orden: Separables, lineales, exactas.
  • Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales: Modelado de fenómenos físicos.

Cálculo Vectorial

1. Vectores en el Espacio

  • Conceptos básicos: Vectores, operaciones con vectores (suma, resta, producto escalar, producto vectorial), propiedades.
  • Geometría vectorial: Rectas, planos, distancias, ángulos.
  • Sistemas de coordenadas: Cartesianas, cilíndricas, esféricas.

2. Funciones Vectoriales

  • Definición y representación: Curvas en el espacio, funciones vectoriales de una variable.
  • Límites y continuidad: Concepto de límite, continuidad de funciones vectoriales.
  • Derivada de una función vectorial: Interpretación geométrica, velocidad, aceleración.
  • Integrales de funciones vectoriales: Cálculo de longitud de arco, movimiento a lo largo de una curva.

3. Campos Escalares y Vectoriales

  • Definición y representación: Campos escalares y vectoriales, superficies de nivel, líneas de flujo.
  • Gradiente: Cálculo del gradiente, interpretación geométrica, derivada direccional.
  • Divergencia y rotacional: Cálculo, interpretación física, teorema de la divergencia, teorema de Stokes.

4. Integrales de Línea y de Superficie

  • Integrales de línea: Integrales de línea de campos escalares y vectoriales, trabajo.
  • Integrales de superficie: Integrales de superficie de campos escalares y vectoriales, flujo.

5. Teoremas Integrales de Cálculo Vectorial

  • Teorema de Green: Relación entre integrales de línea y de doble.
  • Teorema de Stokes: Relación entre integrales de línea y de superficie.
  • Teorema de la divergencia: Relación entre integrales de superficie y de volumen.

6. Aplicaciones del Cálculo Vectorial

  • Física: Electrostática, electromagnetismo, mecánica de fluidos.
  • Geometría diferencial: Curvatura, torsión.
  • Análisis de campos: Gravitatorios, eléctricos, magnéticos.